在考研数学中，求极限是高等数学的核心考点，贯穿于选择题、填空题、解答题等多种题型，分值占比约 10%-15%，且常与导数、积分、级数等知识点结合考查。对于 2026 考研考生而言，熟练掌握求极限的方法不仅是应对直接命题的关键，更是解决后续复杂题型的基础。以下整理出求极限的 11 种核心方法，覆盖所有考点，助力考生实现该模块 “不丢分” 的备考目标。

一、代入法：基础题型的 “直接解法”

代入法是求极限最基础、最直接的方法，适用于函数在极限点处连续的情况。其核心原理是：若函数( f(x) )在点( x_0 )处连续，则( lim_{x o x_0} f(x) = f(x_0) )。使用该方法时，只需将极限点的数值直接代入函数表达式，计算出结果即可。

典型例题：求( lim_{x o 2} (x^2 + 3x – 1) )。由于函数( f(x) = x^2 + 3x – 1 )是多项式函数，在全体实数域内连续，将( x = 2 )代入得：( 2^2 + 3 imes 2 – 1 = 4 + 6 – 1 = 9 )，故极限值为 9。需注意，代入法仅适用于代入后函数有意义的情况，若代入后出现 “( 0/0 )”“( infty/infty )”“( 0 imes infty )” 等未定式，则需采用其他方法。

二、因式分解法：破解 “0/0” 型未定式的关键

当使用代入法后出现 “( 0/0 )” 型未定式（即分子分母同时趋近于 0）时，可通过因式分解法消去分子分母中的公因子，将函数转化为可直接代入计算的形式。该方法的核心是利用代数运算拆分分子或分母，消除导致 “0/0” 型的因子。

典型例题：求( lim_{x o 1} frac{x^2 – 1}{x – 1} )。代入( x = 1 )后，分子( 1^2 – 1 = 0 )，分母( 1 – 1 = 0 )，属于 “( 0/0 )” 型。对分子进行因式分解：( x^2 – 1 = (x – 1)(x + 1) )，消去分子分母的公因子( x – 1 )（此时需注意( x
eq 1 )，但极限过程是( x o 1 )，不包含( x = 1 )，故可消去），得到( lim_{x o 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 )。

三、有理化法：处理含根式的 “0/0” 或 “∞-∞” 型

当函数表达式中含有根式，且代入后出现 “( 0/0 )” 型（分子分母含根式）或 “( infty – infty )” 型（两个根式相减）时，可通过有理化法消去根式，转化为可计算的形式。对于分子分母含根式的 “( 0/0 )” 型，需对分子或分母进行有理化；对于 “( infty – infty )” 型，需先通分或变形后再有理化。

典型例题 1（“0/0” 型）：求( lim_{x o 4} frac{sqrt{x} – 2}{x – 4} )。分子含根式，代入( x = 4 )得 “( 0/0 )” 型。对分子有理化，乘以( sqrt{x} + 2 )，分子变为( (sqrt{x} – 2)(sqrt{x} + 2) = x – 4 )，消去分母( x – 4 )，得到( lim_{x o 4} frac{1}{sqrt{x} + 2} = frac{1}{sqrt{4} + 2} = frac{1}{4} )。

典型例题 2（“∞-∞” 型）：求( lim_{x o +infty} (sqrt{x^2 + x} – x) )。代入( x o +infty )得 “( infty – infty )” 型。先对式子有理化，乘以( sqrt{x^2 + x} + x )，得到( lim_{x o +infty} frac{(x^2 + x) – x^2}{sqrt{x^2 + x} + x} = lim_{x o +infty} frac{x}{sqrt{x^2 + x} + x} )，再分子分母同除以( x )（( x > 0 )），化简为( lim_{x o +infty} frac{1}{sqrt{1 + frac{1}{x}} + 1} = frac{1}{sqrt{1 + 0} + 1} = frac{1}{2} )。

四、等价无穷小替换法：简化计算的 “高效工具”

等价无穷小替换法适用于 “( 0/0 )” 型或 “( 0 imes infty )” 型未定式，核心是利用等价无穷小的性质：若( alpha(x) sim alpha'(x) )，( eta(x) sim eta'(x) )（( x o x_0 )时），且( lim_{x o x_0} frac{alpha'(x)}{eta'(x)} )存在，则( lim_{x o x_0} frac{alpha(x)}{eta(x)} = lim_{x o x_0} frac{alpha'(x)}{eta'(x)} )。需牢记常见的等价无穷小（( x o 0 )时）：( sin x sim x )，( an x sim x )，( arcsin x sim x )，( arctan x sim x )，( ln(1 + x) sim x )，( e^x – 1 sim x )，( 1 – cos x sim frac{1}{2}x^2 )，( (1 + x)^a – 1 sim ax )（( a )为常数）。

典型例题：求( lim_{x o 0} frac{sin 2x}{x + an x} )。( x o 0 )时，( sin 2x sim 2x )，( an x sim x )，代入得( lim_{x o 0} frac{2x}{x + x} = lim_{x o 0} frac{2x}{2x} = 1 )。需注意，等价无穷小替换仅适用于分子、分母中的乘积因子或幂次因子，不可用于加减运算中的项，否则会导致错误。

五、洛必达法则：应对 “0/0” 与 “∞/∞” 型的 “通用解法”

洛必达法则是求未定式极限的重大方法，适用于 “( 0/0 )” 型或 “( infty/infty )” 型未定式，且满足必定条件（函数可导、导数比值的极限存在或为无穷大）。其核心步骤是：对分子分母分别求导，再求导数比值的极限，若仍为未定式，可重复使用洛必达法则，直至求出极限。

典型例题 1（“0/0” 型）：求( lim_{x o 0} frac{e^x – 1 – x}{x^2} )。代入( x = 0 )得 “( 0/0 )” 型，且分子分母可导。第一次使用洛必达法则：( lim_{x o 0} frac{e^x – 1}{2x} )，仍为 “( 0/0 )” 型；第二次使用洛必达法则：( lim_{x o 0} frac{e^x}{2} = frac{e^0}{2} = frac{1}{2} )。

典型例题 2（“∞/∞” 型）：求( lim_{x o +infty} frac{ln x}{x^a} )（( a > 0 )）。代入( x o +infty )得 “( infty/infty )” 型，使用洛必达法则：( lim_{x o +infty} frac{frac{1}{x}}{a x^{a – 1}} = lim_{x o +infty} frac{1}{a x^a} = 0 )。需注意，洛必达法则并非万能，若导数比值的极限不存在且不为无穷大，或函数不可导，则不能使用该法则，需换用其他方法。

六、夹逼准则：解决 “数列或函数和式” 极限的 “关键思路”

夹逼准则适用于数列极限或函数极限中，表达式为 “和式”“乘积式” 或难以直接计算的情况，核心原理是：若存在函数（或数列）( g(x) )、( h(x) )，使得( g(x) leq f(x) leq h(x) )（( x o x_0 )时），且( lim_{x o x_0} g(x) = lim_{x o x_0} h(x) = A )，则( lim_{x o x_0} f(x) = A )。使用该准则时，需合理构造( g(x) )和( h(x) )，使它们的极限易于计算且相等。

典型例题（数列极限）：求( lim_{n o infty} left( frac{1}{sqrt{n^2 + 1}} + frac{1}{sqrt{n^2 + 2}} + dots + frac{1}{sqrt{n^2 + n}}
ight) )。数列表达式为( n )项和，难以直接求和。构造( g(n) = frac{n}{sqrt{n^2 + n}} )（每一项都大于( frac{1}{sqrt{n^2 + n}} )，共( n )项），( h(n) = frac{n}{sqrt{n^2 + 1}} )（每一项都小于( frac{1}{sqrt{n^2 + 1}} )，共( n )项）。计算( lim_{n o infty} g(n) = lim_{n o infty} frac{n}{sqrt{n^2 + n}} = lim_{n o infty} frac{1}{sqrt{1 + frac{1}{n}}} = 1 )，( lim_{n o infty} h(n) = lim_{n o infty} frac{n}{sqrt{n^2 + 1}} = 1 )。根据夹逼准则，原极限值为 1。

七、单调有界准则：证明数列极限存在的 “核心依据”

单调有界准则仅适用于数列极限，核心原理是：若数列( {x_n} )单调递增（或递减）且有上界（或下界），则数列( {x_n} )的极限存在。该准则常与 “递推数列” 结合考查，需先证明数列的单调性和有界性，再设极限值为( A )，代入递推公式求解( A )。

典型例题：设( x_1 = 1 )，( x_{n + 1} = sqrt{2 + x_n} )（( n = 1, 2, dots )），求( lim_{n o infty} x_n )。第一步，证明有界性：由( x_1 = 1 < 2 )，假设( x_k < 2 )，则( x_{k + 1} = sqrt{2 + x_k} < sqrt{2 + 2} = 2 )，故数列有上界 2；又( x_{n + 1} = sqrt{2 + x_n} > sqrt{x_n + x_n} = sqrt{2x_n} )（因( x_n < 2 )），且( x_1 = 1 > 0 )，故数列各项均为正，

有下界 0。第二步，证明单调性：( x_{n + 1} – x_n = sqrt{2 + x_n} – x_n = frac{2 + x_n – x_n^2}{sqrt{2 + x_n} + x_n} = frac{-(x_n^2 – x_n – 2)}{sqrt{2 + x_n} + x_n} = frac{-(x_n – 2)(x_n + 1)}{sqrt{2 + x_n} + x_n} )。因( x_n < 2 )且( x_n > 0 )，故分子为正，分母为正，即( x_{n + 1} – x_n > 0 )，数列单调递增。第三步，求极限：设( lim_{n o infty} x_n = A )，对递推公式两边取极限得( A = sqrt{2 + A} )，平方得( A^2 – A – 2 = 0 )，解得( A = 2 )或( A = -1 )（舍去负根），故极限值为 2。

八、定积分定义法：将 “和式极限” 转化为 “定积分”

定积分定义法适用于数列极限中，表达式为 “( sum_{k = 1}^n fleft( frac{k}{n}
ight) cdot frac{1}{n} )” 或类似形式的和式极限，核心原理是利用定积分的定义：( int_a^b f(x) dx = lim_{n o infty} sum_{k = 1}^n fleft( a + frac{k(b – a)}{n}
ight) cdot frac{b – a}{n} )，当( a = 0 )，( b = 1 )时，简化为( int_0^1 f(x) dx = lim_{n o infty} sum_{k = 1}^n fleft( frac{k}{n}
ight) cdot frac{1}{n} )。

典型例题：求( lim_{n o infty} sum_{k = 1}^n frac{1}{n} cdot sinleft( frac{kpi}{n}
ight) )。观察和式结构，符合( sum_{k = 1}^n fleft( frac{k}{n}
ight) cdot frac{1}{n} )的形式，其中( fleft( frac{k}{n}
ight) = sinleft( pi cdot frac{k}{n}
ight) )，故( f(x) = sin(pi x) )。根据定积分定义，原极限等于( int_0^1 sin(pi x) dx )。计算定积分：( int_0^1 sin(pi x) dx = left. -frac{1}{pi} cos(pi x)
ight|_0^1 = -frac{1}{pi} cos(pi) + frac{1}{pi} cos(0) = -frac{1}{pi} (-1) + frac{1}{pi} imes 1 = frac{2}{pi} )。

九、泰勒公式法：处理 “复杂函数” 极限的 “精准手段”

泰勒公式法适用于函数表达式含指数函数、对数函数、三角函数等复杂函数，且代入后为未定式的情况，核心是将函数展开为泰勒多项式（麦克劳林公式，当( x_0 = 0 )时），消去高阶无穷小，简化计算。常用的麦克劳林展开式（( x o 0 )时）：( e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + o(x^3) )，( ln(1 + x) = x(-frac{x^2}{2} + frac{x^3}{3} – dots + (-1)^{n + 1}frac{x^n}{n} + o(x^n))，(sin x = x – frac{x^3}{3!} + frac{x^5}{5!} – dots + (-1)^{n}frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!} + o(x^{2n + 1}))，(cos x = 1 – frac{x^2}{2!} + frac{x^4}{4!} – dots + (-1)^{n}frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}))。

典型例题：求(lim_{x o 0} frac{e^x – sin x – 1}{x^2})。(x o 0)时，代入得 “(0/0)” 型，且函数含(e^x)与(sin x)，适合用泰勒公式法。将(e^x)展开至(x^2)项：(e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + o(x^2))；将(sin x)展开至(x^2)项（因分母为(x^2)，高阶无穷小可忽略）：(sin x = x – frac{x^3}{6} + o(x^3) = x + o(x^2))。代入原式得：(lim_{x o 0} frac{[1 + x + frac{x^2}{2} + o(x^2)] – [x + o(x^2)] – 1}{x^2} = lim_{x o 0} frac{frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = frac{1}{2})。需注意，泰勒公式展开的阶数需与分母的最高次幂一致，确保高阶无穷小在计算中可忽略，避免展开不足或过度导致错误。

十、利用重大极限公式：快速求解特定形式极限

考研数学中常用的重大极限公式有两个，分别是：1. (lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1)；2. (lim_{x o infty} left( 1 + frac{1}{x}
ight)^x = e)（或等价形式(lim_{t o 0} (1 + t)^{frac{1}{t}} = e)）。这两个公式适用于特定形式的极限，通过变形将所求极限转化为重大极限的标准形式，即可快速得出结果。

（一）第一重大极限(lim_{x o 0} frac{sin x}{x} = 1)

该极限的核心特征是 “(frac{sin ext{（无穷小量）}}{ ext{（同一无穷小量）}})”，当(x o x_0)时，若(alpha(x) o 0)，则(lim_{x o x_0} frac{sin alpha(x)}{alpha(x)} = 1)。

典型例题：求(lim_{x o 0} frac{sin 3x}{ an 2x})。先将( an 2x)转化为(frac{sin 2x}{cos 2x})，原式变为(lim_{x o 0} frac{sin 3x cdot cos 2x}{sin 2x})。拆分后为(lim_{x o 0} cos 2x cdot lim_{x o 0} frac{sin 3x}{sin 2x})。其中(lim_{x o 0} cos 2x = cos 0 = 1)；对(lim_{x o 0} frac{sin 3x}{sin 2x})变形，分子分母分别乘以(3x)和(2x)，得(lim_{x o 0} frac{sin 3x}{3x} cdot frac{2x}{sin 2x} cdot frac{3x}{2x} = 1 imes 1 imes frac{3}{2} = frac{3}{2})。故原式极限值为(1 imes frac{3}{2} = frac{3}{2})。

（二）第二重大极限(lim_{x o infty} left( 1 + frac{1}{x}
ight)^x = e)

该极限的核心特征是 “((1 + ext{（无穷小量）})^{frac{1}{ ext{（同一无穷小量）}}})”，当(x o x_0)时，若(eta(x) o 0)，则(lim_{x o x_0} (1 + eta(x))^{frac{1}{eta(x)}} = e)；若(gamma(x) o infty)，则(lim_{x o x_0} left( 1 + frac{1}{gamma(x)}
ight)^{gamma(x)} = e)。

典型例题：求(lim_{x o infty} left( 1 – frac{2}{x}
ight)^{3x})。令(t = -frac{x}{2})，则当(x o infty)时，(t o infty)，且(x = -2t)。代入原式得(lim_{t o infty} left( 1 + frac{1}{t}
ight)^{3 imes (-2t)} = lim_{t o infty} left[ left( 1 + frac{1}{t}
ight)^t
ight]^{-6} = e^{-6})。也可直接变形：(lim_{x o infty} left( 1 – frac{2}{x}
ight)^{3x} = lim_{x o infty} left[ left( 1 + frac{-2}{x}
ight)^{frac{x}{-2}}
ight]^{-6} = e^{-6})，两种方法均遵循 “凑出重大极限标准形式” 的思路。

十一、利用函数的连续性与极限运算法则：结合基础方法求解

函数的连续性与极限运算法则是求极限的基础支撑，常与其他方法结合使用。极限运算法则包括：1. 若(lim f(x) = A)，(lim g(x) = B)，则(lim [f(x) pm g(x)] = A pm B)；2. (lim [f(x) cdot g(x)] = A cdot B)；3. 若(B
eq 0)，则(lim frac{f(x)}{g(x)} = frac{A}{B})。结合函数连续性（如基本初等函数在定义域内连续），可对复杂极限进行拆分、化简，逐步求解。

典型例题：求(lim_{x o 1} frac{x^2 – 1}{x – 1} cdot cos(x + 1))。第一，由极限乘法法则，原式可拆分为(lim_{x o 1} frac{x^2 – 1}{x – 1} cdot lim_{x o 1} cos(x + 1))。根据前文 “因式分解法”，(lim_{x o 1} frac{x^2 – 1}{x – 1} = lim_{x o 1} (x + 1) = 2)；又因(cos(x + 1))是基本初等函数，在(x = 1)处连续，故(lim_{x o 1} cos(x + 1) = cos(1 + 1) = cos 2)。因此，原式极限值为(2 imes cos 2)。

需注意，使用极限运算法则的前提是 “各部分极限均存在”（除法法则还需分母极限不为 0），若某部分极限不存在，则不能直接拆分。例如(lim_{x o infty} frac{x + sin x}{x})，不可拆分为(lim_{x o infty} frac{x}{x} + lim_{x o infty} frac{sin x}{x})（虽然后者极限存在，但需先确认拆分合理性），实际应先化简为(lim_{x o infty} left( 1 + frac{sin x}{x}
ight))，再利用(lim_{x o infty} frac{sin x}{x} = 0)（有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量），得出极限值为 1。

总结：11 种方法的适用场景与选择策略

求极限的 11 种方法各有适用场景，2026 考研考生在备考中需明确不同方法的核心特征与适用范围，根据极限的具体形式选择最优解法：

1. 若函数在极限点连续，优先用代入法；

2. 出现 “(0/0)” 型且含多项式因子，用因式分解法；含根式，用有理化法；

3. “(0/0)” 或 “(0 imes infty)” 型且含三角函数、指数函数等，优先用等价无穷小替换法（简化计算），替换后仍为未定式可结合洛必达法则；

4. “(0/0)” 或 “(infty/infty)” 型且函数可导，用洛必达法则（注意避免滥用）；

5. 数列和式、乘积式极限，用夹逼准则；递推数列极限，用单调有界准则；

6. 数列和式符合 “(sum_{k=1}^n f(frac{k}{n}) cdot frac{1}{n})” 形式，用定积分定义法；

7. 含复杂函数（指数、对数、三角）的未定式，用泰勒公式法（需注意展开阶数）；

8. 极限形式符合重大极限特征，用重大极限公式；

9. 复杂极限需拆分、化简，结合函数连续性与极限运算法则。

通过针对性练习，熟练掌握每种方法的操作步骤与注意事项，能有效提升求极限的准确率与效率，助力 2026 考研考生在数学科目中实现 “不丢分” 目标，为整体成绩提升奠定坚实基础。（本文来源于西安寄宿考研自习室原创和网络整理，如有侵权请联系南极光寄宿考研考公封闭基地）