傅里叶变换入门：从“把声音拆成音符”说起

傅里叶变换入门：从“把声音拆成音符”说起

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1. 背景溯源：傅里叶的热传导与“万物皆正弦”的猜想

1807年，法国数学家让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶（Jean-Baptiste Joseph Fourier）向巴黎科学院提交了一篇关于热传导的论文——他想解决一个难题：如何计算物体内部的温度分布？当时的物理学家用“微分方程”描述热传导，但复杂形状的物体（比如方形铁棒）的方程很难解。傅里叶提出了一个大胆的猜想：

“任何周期函数，无论多么复杂，都可以分解成一系列正弦函数和余弦函数的和。”

换句话说，热传导的温度分布（随时间和空间变化的信号），可以拆成“不同频率的正弦波的叠加”。这个猜想在当时引发了争议——拉格朗日等学者认为“只有连续可导的函数才能这样分解”，但傅里叶用实验证明：即使是有尖峰或间断点的函数（比如方波），也能通过正弦波的叠加逼近。

1822年，傅里叶出版《热的解析理论》（Théorie analytique de la chaleur），正式确立了“傅里叶级数”的理论。后来，学者们将其推广到非周期信号（比如单次脉冲），形成了我们今天说的“傅里叶变换”。

傅里叶的思想彻底改变了人类对“信号”的理解——从“时间域”（看信号随时间的变化）到“频率域”（看信号的频率组成），就像从“听一首歌的旋律”到“看这首歌的乐谱（音符组成）”。

2. 核心思想：时域到频域的“翻译术”——复杂信号的“正弦分解”

假设你有一个复杂的信号（比如一段音乐、一个心电图、一张图片），傅里叶变换的核心是做两件事：

分解：把时域（时间作为变量）的信号拆成一系列正弦波（不同频率、振幅、相位）的叠加；合成：用这些正弦波可以重新拼出原来的信号。

用一个比喻：

时域：你听一首钢琴曲，感受到的是“音符随时间的流动”（比如“do→re→mi→fa”）；频域：你看这首曲的乐谱，看到的是“每个音符的频率（do是261.6Hz，re是293.7Hz）和强度（音量）”。

傅里叶变换就是“将钢琴曲转换成乐谱”的翻译工具——它把时域的“时间流动”翻译成频域的“频率组成”，让我们能更轻松地分析信号的本质（比如去掉杂音、压缩数据）。

3. 基础铺垫：从周期信号到傅里叶级数

傅里叶变换的起点是周期信号——即随时间重复的信号（比如正弦波、方波、三角波）。我们先学如何分解周期信号，再推广到非周期信号。

3.1 周期信号的定义：重复的“时间pattern”

一个信号x(t)x(t)x(t)是周期信号，当且仅当存在一个正数TTT（称为周期），使得对所有时间ttt，都有：

正弦波x(t)=Asin⁡(ω0t)x(t) = Asin(omega_0 t)x(t)=Asin(ω0​t)的周期是T=2π/ω0T = 2pi/omega_0T=2π/ω0​（ω0=2πf0omega_0 = 2pi f_0ω0​=2πf0​是角频率，$ f_0 = 1/T $是频率，单位Hz）；方波（比如“0→1→0→1→…”重复）的周期是TTT，占空比50%。

3.2 傅里叶级数的三角形式：正弦余弦的“合唱”

傅里叶级数的三角形式是：

omega0=2π/Tomega_0 = 2pi/Tomega0​=2π/T：基频（周期信号的最低频率）；nω0nomega_0nω0​：n次谐波（基频的整数倍频率，比如n=1是基频，n=2是二次谐波，依此类推）；a0/2a_0/2a0​/2：直流分量（信号的平均值，即不随时间变化的部分）；ana_nan​、bnb_nbn​：谐波系数（表示第nnn次谐波的“强度”）。

这个公式的意思是：任何周期信号都可以分解成“直流分量”+“基频正弦/余弦波”+“二次谐波正弦/余弦波”+…的和。

比如方波（周期TTT，幅度AAA，占空比50%）的傅里叶级数是：

3.3 傅里叶级数的系数：正交性的“魔法”

要分解周期信号，关键是求系数a0a_0a0​、ana_nan​、bnb_nbn​。这里用到三角函数的正交性——即不同频率的正弦/余弦波在一个周期内的积分等于0（互不干扰），相同频率的积分等于一个常数（可以单独计算）。

正交性的核心结论（对周期TTT的信号）：
3.∫0Tcos⁡(mω0t)cos⁡(nω0t)dt={T/2,m=n0,meqnint_{0}^{T} cos(momega_0 t) cos(nomega_0 t) dt =
{T/2,m=n0,meqn” role=”presentation”>{T/2,0,m=nmeqn$$\{\begin{array}{ll}T/2,& m=n\\ 0,& meqn\end{array}$$∫0T​cos(mω0​t)cos(nω0​t)dt={T/2,0,​m=nmeqn​
4. ∫0Tsin⁡(mω0t)sin⁡(nω0t)dt={T/2,m=n0,meqnint_{0}^{T} sin(momega_0 t) sin(nomega_0 t) dt =
{T/2,m=n0,meqn” role=”presentation”>{T/2,0,m=nmeqn$$\{\begin{array}{ll}T/2,& m=n\\ 0,& meqn\end{array}$$∫0T​sin(mω0​t)sin(nω0​t)dt={T/2,0,​m=nmeqn​
5. ∫0Tcos⁡(mω0t)sin⁡(nω0t)dt=0int_{0}^{T} cos(momega_0 t) sin(nomega_0 t) dt = 0∫0T​cos(mω0​t)sin(nω0​t)dt=0（对任意m,nm,nm,n）

简单来说：不同频率的正弦/余弦波“互不重叠”，相同频率的“重叠”。利用这个性质，我们可以单独求出每个系数：

直流分量系数$ a_0 ：信号在一个周期内的平均值：信号在一个周期内的平均值：信号在一个周期内的平均值a0=2T∫0Tx(t)dta_0 = frac{2}{T} int_{0}^{T} x(t) dta0​=T2​∫0T​x(t)dt$

余弦项系数ana_nan​：信号与cos⁡(nω0t)cos(nomega_0 t)cos(nω0​t)的“相关性”

正弦项系数bnb_nbn​：信号与sin⁡(nω0t)sin(nomega_0 t)sin(nω0​t)的“相关性”

3.4 傅里叶级数的复数形式：更简洁的“数学语言”

三角形式的傅里叶级数虽然直观，但计算起来麻烦。我们可以用欧拉公式（复数的核心公式）将其简化为复数形式：

利用欧拉公式，余弦和正弦可以表示为：

将其代入三角形式的傅里叶级数，整理后得到复数形式的傅里叶级数：

复数形式的优点：
6. 更简洁（只用一个求和式，不用分开余弦和正弦）；
7. 容易推广到傅里叶变换（非周期信号）；
8. XnX_nXn​包含了振幅和相位信息：

振幅：∣Xn∣=Re(Xn)2+Im(Xn)2|X_n| = sqrt{ ext{Re}(X_n)^2 + ext{Im}(X_n)^2}∣Xn​∣=Re(Xn​)2+Im(Xn​)2​（表示第nnn次谐波的强度）；相位：∠Xn=arctan⁡(Im(Xn)Re(Xn))angle X_n = arctanleft( frac{ ext{Im}(X_n)}{ ext{Re}(X_n)}
ight)∠Xn​=arctan(Re(Xn​)Im(Xn​)​)（表示第nnn次谐波的“时间偏移”）。

3.5 例子：方波的傅里叶级数与吉布斯现象

我们用50%占空比的方波验证傅里叶级数：方波的定义：x(t)=Ax(t) = Ax(t)=A（当0<t<T/20 < t < T/20<t<T/2），x(t)=−Ax(t) = -Ax(t)=−A（当T/2<t<TT/2 < t < TT/2<t<T），周期TTT。

计算复数系数XnX_nXn​：

当nnn为偶数时，e−jnπ=1e^{-jnpi} = 1e−jnπ=1，所以Xn=0X_n = 0Xn​=0（偶数次谐波消失）；当nnn为奇数时，e−jnπ=−1e^{-jnpi} = -1e−jnπ=−1，所以Xn=2AjnπX_n = frac{2A}{jnpi}Xn​=jnπ2A​（奇数次谐波保留）。

因此，方波的复数形式傅里叶级数为：

吉布斯现象：当我们用傅里叶级数的部分和（比如取前$ N 项）逼近方波时，在∗∗间断点∗∗（比如项）逼近方波时，在**间断点**（比如项）逼近方波时，在∗∗间断点∗∗（比如 t = T/2 处，方波从处，方波从处，方波从 A 跳到跳到跳到 -A ）附近会出现∗∗振荡∗∗，振幅约为跳变的9）附近会出现**振荡**，振幅约为跳变的9%（比如方波跳变是）附近会出现∗∗振荡∗∗，振幅约为跳变的9 2A $，振荡幅度约为0.18A0.18A0.18A）。

吉布斯现象是傅里叶级数的固有特性——无论取多少项，振荡都不会消失，只会“收缩”到间断点附近。这告诉我们：傅里叶级数是“逼近”信号，不是“完全等于”信号（除非取无穷多项）。

4. 进阶：非周期信号与傅里叶变换

现在，我们要处理非周期信号——即不重复的信号（比如单次脉冲、语音中的一个字、图像中的一个像素）。非周期信号可以看成“周期$ T $趋近于无穷大的周期信号”，我们需要将傅里叶级数推广到这种情况。

4.1 非周期信号的困境：周期“无穷大”怎么办？

对于周期信号，我们有：

基频ω0=2π/Tomega_0 = 2pi/Tω0​=2π/T；谐波频率是nω0nomega_0nω0​（离散的，比如ω0,2ω0,3ω0,…omega_0, 2omega_0, 3omega_0, dotsω0​,2ω0​,3ω0​,…）；傅里叶级数是离散频谱（只有谐波频率处有值）。

当周期T→∞T o inftyT→∞时：
9. 基频ω0→0omega_0 o 0ω0​→0（因为ω0=2π/Tomega_0 = 2pi/Tω0​=2π/T）；
10. 谐波频率nω0nomega_0nω0​变成连续的频率ωomegaω（因为nω0=n⋅(2π/T)→ωnomega_0 = n cdot (2pi/T) o omeganω0​=n⋅(2π/T)→ω，当T→∞T o inftyT→∞）；
11. 离散的求和∑n=−∞∞sum_{n=-infty}^{infty}∑n=−∞∞​变成连续的积分∫−∞∞dωint_{-infty}^{infty} domega∫−∞∞​dω；
12. 复数系数XnX_nXn​（与1/T1/T1/T成正比）会趋近于0（因为T→∞T o inftyT→∞），所以我们需要定义一个“密度”函数来描述频谱——这就是傅里叶变换。

4.2 傅里叶变换的定义：从“求和”到“积分”的推广

对于非周期信号x(t)x(t)x(t)，傅里叶变换（正变换）的定义是：

傅里叶逆变换（从频域回到时域）的定义是：

注意：
13. X(ω)X(omega)X(ω)称为频谱密度函数（简称“频谱”），它是连续函数（非周期信号的频谱是连续的）；
14. 逆变换中的1/(2π)1/(2pi)1/(2π)是“归一化因子”（保证正变换和逆变换的一致性）；
15. ω=2πfomega = 2pi fω=2πf是角频率（单位rad/s），fff是频率（单位Hz）。

4.3 频谱的意义：振幅谱与相位谱

傅里叶变换X(ω)X(omega)X(ω)是复数函数，它包含了信号的振幅信息和相位信息：

振幅谱：∣X(ω)∣=Re(X(ω))2+Im(X(ω))2|X(omega)| = sqrt{ ext{Re}(X(omega))^2 + ext{Im}(X(omega))^2}∣X(ω)∣=Re(X(ω))2+Im(X(ω))2​表示“频率$ omega $处的信号强度”（比如“100Hz的分量有多大”）；相位谱：∠X(ω)=arctan⁡(Im(X(ω))Re(X(ω)))angle X(omega) = arctanleft( frac{ ext{Im}(X(omega))}{ ext{Re}(X(omega))}
ight)∠X(ω)=arctan(Re(X(ω))Im(X(ω))​)表示“频率$ omega $处的信号相对于参考正弦波的时间偏移”（比如“100Hz的分量比参考正弦波晚0.1秒到达”）。

举个例子：矩形脉冲信号（非周期）矩形脉冲的定义：x(t)=Ax(t) = Ax(t)=A（当∣t∣<τ/2|t| < au/2∣t∣<τ/2），x(t)=0x(t) = 0x(t)=0（当∣t∣>τ/2|t| > au/2∣t∣>τ/2），其中τ auτ是脉冲宽度。

计算傅里叶变换X(ω)X(omega)X(ω)：

其中Sa(x)=sin⁡(x)/x ext{Sa}(x) = sin(x)/xSa(x)=sin(x)/x是抽样函数（Sinc函数），它的形状是“主瓣+旁瓣”：

主瓣宽度：2⋅(2π/τ)=4π/τ2 cdot (2pi/ au) = 4pi/ au2⋅(2π/τ)=4π/τ（脉冲越窄，主瓣越宽，频域越分散）；旁瓣振幅：随着ωomegaω增大，旁瓣振幅逐渐减小（表示高频分量的强度越来越弱）。

这个例子验证了不确定性原理：信号在时域越窄（$ au $越小），在频域越宽（主瓣越宽）；反之亦然。比如：

时域中“瞬间的脉冲”（τ→0 au o 0τ→0），频域中会覆盖所有频率（白噪声）；频域中“单一频率的正弦波”（X(ω)=δ(ω−ω0)X(omega) = delta(omega – omega_0)X(ω)=δ(ω−ω0​)，冲激函数），时域中是“无限长的正弦波”。

5. 完整流程：傅里叶变换的“分步指南”

现在，我们总结用傅里叶变换分析信号的完整步骤：

5.1 步骤1：判断信号类型——周期还是非周期？

周期信号：存在T>0T > 0T>0，使得x(t)=x(t+T)x(t) = x(t + T)x(t)=x(t+T)（比如正弦波、方波）；非周期信号：不存在这样的TTT（比如单次脉冲、语音片段）。

5.2 步骤2：周期信号→傅里叶级数

如果是周期信号，用傅里叶级数分解：
16. 计算基频：ω0=2π/Tomega_0 = 2pi/Tω0​=2π/T；
17. 计算复数系数XnX_nXn​（或三角系数a0,an,bna_0, a_n, b_na0​,an​,bn​）；
18. 画出离散频谱（横坐标是频率nω0nomega_0nω0​，纵坐标是振幅∣Xn∣|X_n|∣Xn​∣或相位∠Xnangle X_n∠Xn​）；
19. 分析频谱：看主要谐波频率（比如方波的奇数次谐波），以及各谐波的强度。

5.3 步骤3：非周期信号→傅里叶变换

如果是非周期信号，用傅里叶变换：
20. 计算傅里叶正变换：X(ω)=∫−∞∞x(t)e−jωtdtX(omega) = int_{-infty}^{infty} x(t) e^{-jomega t} dtX(ω)=∫−∞∞​x(t)e−jωtdt；
21. 计算振幅谱∣X(ω)∣|X(omega)|∣X(ω)∣和相位谱∠X(ω)angle X(omega)∠X(ω)；
22. 画出连续频谱（横坐标是频率ωomegaω，纵坐标是振幅或相位）；
23. 分析频谱：看主要频率范围（比如矩形脉冲的主瓣宽度），以及高频分量的强度。

5.4 步骤4：频域分析——从频谱图读“信号密码”

频谱图是傅里叶变换的“输出报告”，我们可以从图中得到以下信息：
24. 信号的主要频率分量：振幅谱的峰值对应的频率（比如语音信号的基频约100-300Hz，泛音约1-3kHz）；
25. 信号的带宽：振幅谱的主瓣宽度（比如矩形脉冲的带宽是$ 2pi/ au $）；
26. 信号的相位特征：相位谱的变化（比如图像的相位谱包含“形状信息”，振幅谱包含“亮度信息”）；
27. 噪声的位置：如果频谱图中有“异常的峰值”（比如50Hz的市电干扰），可以用滤波器去掉这些频率。

6. 适用边界与局限性：傅里叶变换不是“万能钥匙”

傅里叶变换是强大的工具，但它有适用条件和局限性，小白需要知道什么时候该用，什么时候不该用。

6.1 傅里叶变换的适用条件：狄利克雷条件

傅里叶变换要求信号满足狄利克雷条件（Dirichlet Conditions）：
28. 绝对可积：信号在时域的绝对值积分有限，即∫−∞∞∣x(t)∣dt<∞int_{-infty}^{infty} |x(t)| dt < infty∫−∞∞​∣x(t)∣dt<∞（保证傅里叶变换的积分收敛）；
29. 有限个极值点和间断点：信号在任意有限区间内，只有有限个极大值/极小值和有限个间断点，且每个间断点的跳变是有限的（比如方波的间断点跳变是2A2A2A，有限）。

大多数实际信号（比如语音、图像、通信信号）都满足狄利克雷条件，但以下信号不满足：

无限长的正弦波（∫−∞∞∣sin⁡(ω0t)∣dt=∞int_{-infty}^{infty} |sin(omega_0 t)| dt = infty∫−∞∞​∣sin(ω0​t)∣dt=∞，不绝对可积）；无限振荡的信号（比如sin⁡(1/t)sin(1/t)sin(1/t)，在t→0t o 0t→0时无限振荡，有无限个极值点）。

对于不满足绝对可积的信号，我们可以用广义傅里叶变换（分布理论）处理，比如：

正弦波sin⁡(ω0t)sin(omega_0 t)sin(ω0​t)的傅里叶变换是jπ[δ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)]jpi [delta(omega + omega_0) – delta(omega – omega_0)]jπ[δ(ω+ω0​)−δ(ω−ω0​)]（冲激函数，表示“只有±ω0pmomega_0±ω0​频率处有值”）。

6.2 傅里叶变换的局限性：无法处理“时变频率”

傅里叶变换的最大局限性是：它是“全局变换”，无法同时得到时域和频域的“局部信息”。

比如Chirp信号（频率随时间线性增加的信号，比如“呜——”的上升音）：

时域：信号的频率从低到高变化（比如从100Hz升到1000Hz）；傅里叶变换的频域图：显示一个宽的频率带（100Hz到1000Hz），但看不出频率随时间的变化（所有时间的频率都混在一起）。

换句话说，傅里叶变换只能告诉我们“信号包含哪些频率”，但不能告诉我们“这些频率在什么时候出现”。

6.3 替代方案：短时傅里叶变换与小波变换

为了处理非平稳信号（频率随时间变化的信号），我们需要局部化的傅里叶变换：
30. 短时傅里叶变换（STFT）：把信号分成“短时间窗”（比如20ms），对每个窗内的信号做傅里叶变换，得到“时间-频率”二维图（比如“t=0.1s时，频率是200Hz；t=0.2s时，频率是500Hz”）；
31. 小波变换：用“可变宽度的窗”（小尺度窗分析高频信号，大尺度窗分析低频信号），比STFT更灵活，适合分析突变信号（比如心电信号中的早搏）。

7. 总结：傅里叶变换的“初心”——让复杂信号“变简单”

傅里叶变换的本质是**“视角转换”**：

从“时间的视角”（看信号随时间的变化），转到“频率的视角”（看信号的频率组成）；把复杂的“时间曲线”，分解成简单的“正弦波叠加”。

它的应用无处不在：

通信：调制解调（将信号从低频转到高频，方便传输）；信号处理：滤波（去掉杂音，比如去掉50Hz的市电干扰）；图像压缩：JPEG算法用傅里叶变换的变种（离散余弦变换，DCT）压缩图像（保留低频分量，去掉高频分量）；医学：CT扫描用傅里叶变换重建图像（将X射线的投影数据转换成图像）。

对于小白来说，傅里叶变换的难点不是公式，而是**“从时域到频域的思维转换”**——当你能把“听音乐”变成“看乐谱”，把“看波形”变成“看频谱”，你就真正入门了傅里叶变换。

最后：给小白的建议

先理解思想，再记公式：傅里叶变换的核心是“正弦分解”，公式是思想的数学表达，不要死记硬背；用例子验证：比如用方波、矩形脉冲的例子，手动计算傅里叶级数/变换，看频谱图的变化；联系实际：比如用手机的“频谱分析仪”APP，录一段语音，看它的频谱（你会发现元音的频谱有明显的峰值，辅音的频谱是宽带的）；接受局限性：傅里叶变换不是万能的，遇到非平稳信号时，要学STFT或小波变换。

傅里叶变换是“数学的眼睛”——它让我们看到了信号的“另一面”，而这一面，往往是更本质的。

案例介绍
生成一个包含两个正弦波叠加的模拟信号，使用傅里叶变换分解出原始信号的频率成分。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def generate_signal(duration, sampling_rate):
    """
    生成模拟信号：两个不同频率的正弦波叠加
    :param duration: 信号时长 (秒)
    :param sampling_rate: 采样率 (Hz)
    :return: 时间序列, 模拟信号
    """
    # 生成时间轴
    time = np.linspace(0, duration, int(duration * sampling_rate), endpoint=False)
    # 生成两个正弦波：f1=5Hz, f2=15Hz
    signal = np.sin(2 * np.pi * 5 * time) + np.sin(2 * np.pi * 15 * time)
    return time, signal

def compute_fourier_transform(signal, sampling_rate):
    """
    计算信号的傅里叶变换
    :param signal: 输入信号
    :param sampling_rate: 采样率 (Hz)
    :return: 频率轴, 傅里叶变换结果
    """
    # 计算傅里叶变换
    fft_result = np.fft.fft(signal)
    # 计算频率轴
    freq = np.fft.fftfreq(len(signal), 1/sampling_rate)
    # 取绝对值得到振幅谱
    amplitude = np.abs(fft_result) / len(signal) * 2  # 归一化并取双边谱振幅
    return freq, amplitude

def plot_results(time, signal, freq, amplitude):
    """
    绘制原始信号和傅里叶变换结果
    :param time: 时间轴
    :param signal: 原始信号
    :param freq: 频率轴
    :param amplitude: 振幅谱
    """
    # 创建画布
    fig, (ax1, ax2) = plt.subplots(2, 1, figsize=(10, 6))
    # 绘制原始信号
    ax1.plot(time, signal)
    ax1.set_title('Original Signal')
    ax1.set_xlabel('Time (s)')
    ax1.set_ylabel('Amplitude')
    # 绘制傅里叶变换结果 (仅显示正频率)
    positive_freq_indices = np.where(freq >= 0)
    ax2.plot(freq[positive_freq_indices], amplitude[positive_freq_indices])
    ax2.set_title('Fourier Transform (Amplitude Spectrum)')
    ax2.set_xlabel('Frequency (Hz)')
    ax2.set_ylabel('Amplitude')
    # 调整布局
    plt.tight_layout()
    # 显示图像
    plt.show()

def main():
    """
    主程序
    """
    # 信号参数
    duration = 2  # 信号时长 2 秒
    sampling_rate = 100  # 采样率 100 Hz
    # 生成模拟信号
    time, signal = generate_signal(duration, sampling_rate)
    # 计算傅里叶变换
    freq, amplitude = compute_fourier_transform(signal, sampling_rate)
    # 绘制结果
    plot_results(time, signal, freq, amplitude)

# 执行主程序
if __name__ == "__main__":
    main()