微积分相关名词列表

微积分（Calculus）是一个广泛的数学分支，主要包括微分学（Differential Calculus）和积分学（Integral Calculus微积分），并扩展到多变量、向量分析等领域。

微积分的学习过程会遇到许多专用名词（符号），如果没有了解并熟记每个名词（符号）的含义学习的过程会超级艰难。

按逻辑类别分组，学习微积分的过程会遇到的专用名词:

1. 基础概念（Basic Concepts）

函数 (Function)

符号：一般用 f(x) 或 y = f(x) 表明。

含义：一个从定义域到值域的映射，将输入值关联到唯一输出值。在微积分中，函数是研究的核心对象，如连续函数、可微函数等。

自变量 (Independent Variable)

符号：常用 x 或 t。

含义：函数输入的值，可以自由变化。

因变量 (Dependent Variable)

符号：常用 y 或 f(x)。

含义：函数输出的值，取决于自变量。

定义域 (Domain)

符号：Dom(f) 或 D_f。

含义：函数输入值的集合，所有允许的自变量值。

值域 (Range)

符号：Ran(f) 或 R_f。

含义：函数输出值的集合，所有可能的因变量值。

极限 (Limit)

符号：lim_{x -> a} f(x) = L。

含义：当自变量 x 趋近于 a 时，函数值趋近于 L。极限是微积分的基础，用于定义连续、导数等。

无穷大 (Infinity)

符号：∞ 或 -∞。

含义：在极限中表明无界增长或减小，如 lim_{x -> ∞} f(x)，描述函数在无限远处的行为。

连续性 (Continuity)

符号：无特定符号，常说 f 在 a 处连续。

含义：函数在点 a 的极限等于函数值 f(a)，即无跳跃或间断。

间断点 (Discontinuity)

符号：无特定符号。

含义：函数不连续的点，如可去间断、跳跃间断或无穷间断。

2. 微分学相关（Differential Calculus）

导数 (Derivative)

符号：f'(x)、df/dx 或 dy/dx。

含义：函数在某点的瞬时变化率，描述函数曲线的斜率或切线斜率。由极限定义：f'(x) = lim_{h -> 0} (f(x+h) – f(x))/h。

高阶导数(Higher-Order Derivative)

符号：二阶导数 f”(x)、三阶 f”'(x)，或 d^n y / dx^n。

含义：对导数的进一步求导，如二阶导数表明加速度或凹凸性。

微分 (Differential)

符号：df 或 dy = f'(x) dx。

含义：函数变化的近似 infinitesimal 量，用于线性逼近或微分方程。

可微性 (Differentiability)

符号：无特定符号。

含义：函数在某点存在导数，即可微。比连续性更强。

偏导数 (Partial Derivative)

符号：∂f/∂x 或 f_x。

含义：在多变量函数中，对一个变量求导，其他变量视为常数。

全微分 (Total Differential)

符号：df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy + …。

含义：多变量函数的微分，思考所有变量的变化。

梯度 (Gradient)

符号：∇f 或 grad f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。

含义：多变量函数的偏导数向量，指向函数增长最快的方向。

方向导数 (Directional Derivative)

符号：D_u f 或 ∇f · u。

含义：函数沿特定方向 u 的变化率。

链式法则 (Chain Rule)

符号：dy/dx = (dy/du) · (du/dx)。

含义：复合函数的求导规则。

隐函数求导 (Implicit Differentiation)

符号：无特定符号。

含义：对隐式定义的函数（如 F(x,y)=0）求导。

中值定理 (Mean Value Theorem)

符号：无特定符号。

含义：若函数在 [a,b] 连续、在 (a,b) 可微，则存在 c 使 f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a)，连接平均变化率与瞬时变化率。

罗尔定理 (Rolle’s Theorem)

符号：无特定符号。

含义：中值定理的特例，若 f(a)=f(b)，则存在 c 使 f'(c)=0。

拉格朗日中值定理 (Lagrange’s Mean Value Theorem)

符号：无特定符号（与中值定理一样）。

含义：中值定理的另一种表述。

柯西中值定理 (Cauchy’s Mean Value Theorem)

符号：无特定符号。

含义：两个函数的比值中值定理：f'(c)/g'(c) = (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))。

极值 (Extremum)

符号：局部最大/最小值。

含义：函数的局部最高或最低点，常由导数为零的临界点确定。

临界点 (Critical Point)

符号：无特定符号。

含义：导数为零或不存在的点，可能为极值点。

拐点 (Inflection Point)

符号：无特定符号。

含义：函数凹凸性改变的点，二阶导数为零且符号改变。

凸性/凹性 (Convexity/Concavity)

符号：无特定符号。

含义：函数曲线向上弯曲（凹）或向下弯曲（凸），由二阶导数符号决定。

泰勒展开 (Taylor Expansion)

符号：f(x) = sum_{n=0}^∞ [f^{(n)}(a)/n!] (x-a)^n。

含义：用多项式近似函数的展开式。

麦克劳林展开 (Maclaurin Expansion)

符号：泰勒展开的特例，当 a=0 时。

含义：围绕零点的泰勒展开。

3. 积分学相关（Integral Calculus）

积分 (Integral)

符号：不定积分 ∫ f(x) dx，定积分 ∫_a^b f(x) dx。

含义：函数的反导数（不定积分）或曲线下的面积（定积分）。由极限定义：黎曼和。

不定积分 (Indefinite Integral)

符号：∫ f(x) dx = F(x) + C。

含义：求导后得到原函数的函数族，C 为常数。

定积分 (Definite Integral)

符号：∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)。

含义：从 a 到 b 的积分值，表明净面积或累积量。

可积性 (Integrability)

符号：无特定符号。

含义：函数在区间上存在积分，如黎曼可积或勒贝格可积。

微积分基本定理 (Fundamental Theorem of Calculus)

符号：无特定符号。

含义：连接微分与积分：若 F 是 f 的积分，则 F’ = f；且 ∫_a^b f(x) dx = F(b) – F(a)。

分部积分法 (Integration by Parts)

符号：∫ u dv = uv – ∫ v du。

含义：积分的乘积规则，类似于导数的乘积法则。

替换法 (Substitution Method)

符号：∫ f(g(x)) g'(x) dx = ∫ f(u) du (u = g(x))。

含义：通过变量替换简化积分。

重积分 (Multiple Integral)

符号：双重积分 ∬_R f(x,y) dA，三重 ∭_V f(x,y,z) dV。

含义：多变量函数的积分，表明体积或质量等。

线积分 (Line Integral)

符号：∫_C F · dr 或 ∫_C f ds。

含义：沿曲线 C 的积分，用于计算功或流。

面积分 (Surface Integral)

符号：∬_S F · dS。

含义：沿曲面 S 的积分，用于计算通量。

格林定理 (Green’s Theorem)

符号：无特定符号。

含义：平面区域的双重积分等于边界线积分：∬_R (P_x – Q_y) dA = ∮_C P dx + Q dy。

斯托克斯定理 (Stokes’ Theorem)

符号：无特定符号。

含义：曲面积分等于边界线积分：∬_S (∇ × F) · dS = ∮_C F · dr。

散度定理 (Divergence Theorem)

符号：无特定符号。

含义：体积积分等于表面积分：∭_V ∇ · F dV = ∬_S F · dS。

旋度 (Curl)

符号：∇ × F。

含义：向量场旋转的度量。

散度 (Divergence)

符号：∇ · F。

含义：向量场源或汇的度量。

4. 序列与级数（Sequences and Series）

序列 (Sequence)

符号：{a_n} 或 a_1, a_2, …。

含义：按顺序排列的数列，如算术序列或几何序列。

级数 (Series)

符号：sum_{n=1}^∞ a_n。

含义：序列项的无限和。

收敛 (Convergence)

符号：无特定符号。

含义：序列趋近于有限值，或级数和有限。

发散 (Divergence)

符号：无特定符号。

含义：序列或级数不收敛，如趋向无穷。

绝对收敛 (Absolute Convergence)

符号：无特定符号。

含义：级数的绝对值级数收敛。

条件收敛 (Conditional Convergence)

符号：无特定符号。

含义：级数收敛但绝对值级数不收敛。

比值检验 (Ratio Test)

符号：无特定符号。

含义：检验级数收敛的测试：看 lim |a_{n+1}/a_n| < 1。

根值检验 (Root Test)

符号：无特定符号。

含义：看 lim ( |a_n| )^{1/n} < 1。

积分检验 (Integral Test)

符号：无特定符号。

含义：用积分判断级数收敛，如 ∫_1^∞ f(x) dx 收敛则级数收敛。

幂级数 (Power Series)

符号：sum_{n=0}^∞ c_n (x – a)^n。

含义：以幂形式展开的级数，用于函数表明。

收敛半径 (Radius of Convergence)

符号：R。

含义：幂级数收敛的区间半径。

5. 其他高级或应用概念（Advanced or Applied Concepts）

微分方程 (Differential Equation)

符号：如 dy/dx = f(x,y)。

含义：涉及未知函数及其导数的方程，用于建模物理现象。

常微分方程 (Ordinary Differential Equation, ODE)

符号：无特定符号。

含义：只涉及一个自变量的微分方程。

偏微分方程 (Partial Differential Equation, PDE)

符号：如 ∂u/∂t = ∂^2 u / ∂x^2。

含义：涉及多个自变量的微分方程。

拉普拉斯变换 (Laplace Transform)

符号：L{f(t)} = ∫_0^∞ e^{-st} f(t) dt。

含义：将微分方程转化为代数方程的工具。

傅里叶变换 (Fourier Transform)

符号：f-hat(ξ) = ∫_{-∞}^∞ f(x) e^{-2π i x ξ} dx。

含义：将函数分解为频率分量的工具，用于信号处理。

向量场 (Vector Field)

符号：F(x,y,z) = (P, Q, R)。

含义：每个点关联一个向量的函数，用于物理场如电场。

保守场 (Conservative Field)

符号：无特定符号。

含义：旋度为零的向量场，线积分与路径无关。

雅可比矩阵 (Jacobian Matrix)

符号：J = [ ∂x/∂u ∂x/∂v ; ∂y/∂u ∂y/∂v ] （用分号表明行分隔）。

含义：多变量变换的导数矩阵，用于变量替换。

黑塞矩阵 (Hessian Matrix)

符号：H = [ f_xx f_xy ; f_yx f_yy ] （用分号表明行分隔）。

含义：二阶偏导数矩阵，用于判断极值的性质。