泰勒公式（Taylor’s Formula）用于将一个函数在某点附近展开为多项式，从而近似表明该函数。它在数学分析、物理学和工程学中有广泛应用。通过使用泰勒公式，我们可以近似描述和分析物理、工程、经济和计算机系统等过程和现象，从而实现对它们的预测、优化和控制。

泰勒公式的一般形式

若函数 在点 处有 阶导数，则 在 附近的泰勒展开式为：

其中， 是余项，表明近似误差。

余项的形式

• 佩亚诺余项： ，它就是用n次泰勒多项式来近似表达所产生的误差，这一误差是当时比高阶的无穷小，但不能由它具体估算出误差的大小。下面给出的具有另一种余项形式的泰勒定理则解决了这一问题。
• 拉格朗日余项：， 其中， 介于 和 之间。

常用的泰勒展开

• 指数函数：
• 正弦函数：
• 余弦函数：
• 自然对数函数：

应用

• 函数近似：用多项式近似复杂函数。
• 极限计算：通过泰勒展开简化极限计算。
• 数值计算：在计算机科学和工程中用于高效计算函数值。