什么是质数，为什么质数很重要？

质数是RSA加密的关键部分，它使用质数作为密钥来解锁隐藏在数字乱码中的信息。质数在生活中还有其他的应用，所以理解它们是有好处的。1是质数吗？为什么质数很重大？

什么是质数？

那么，质数是什么呢？质数在现代社会是如何变得如此重大的呢？质数是一个大于1的正数，只能被1和它自己整除。它必须能被两个数整除。根据质数的定义，数字1不是质数。

记住它的一个好方法是，要知道一个质数不能被任何其他正自然数除而不留下余数、小数或分数。以质数13为例。它只有两个因数：1和13。13 ÷ 6 = 2余数为1。一个质数除以任何自然数都会得到剩余数。

1曾经被认为是质数吗？

纵观历史，数学家们一直在努力解决真正定义质数的概念。这场辩论的核心是数字1的地位。在19世纪，关于1是否是质数有一场争论。

人们曾经信任1是质数。这种信念的基础是这样一个想法：质数只有两个正整数除数：1和它自己。因此，在分类中构成挑战的唯一整数是1，由于根据这个基本定义，它符合标准。

不过，随着数学的发展，这种观点发生了转变。为了使数论及其结果定理更加一致和连贯，数学家们重新审视了一个数被确定为质数的标准。质数的概念需要区分质数和合数。

根据质数有两个不同的正因子的定义，数字1不适合，由于它只有一个不同的正因子：1。因此，分类改变了，不再思考1质数。

这种移位确保了每一个大于1的正整数要么被归类为质数，要么被归类为合数。它有助于提供清晰的数学理论和定理，消除潜在的歧义。虽然这场争论在很大程度上以1不是质数的共识得到了解决，但历史上的争论强调了数学定义的演变本质，以及该学科对准确度的不断追求。

为什么2是唯一的偶数质数？

唯一的偶数质数是2，其他质数都是奇数。我们来看一下。

所有偶数都是合数。2是唯一的偶数质数由于它的因数不超过两个它的因数只有1和2本身。对于一个被归类为质数的数字，它应该恰好有两个因数。由于2恰好有两个因数，1和数字本身2，所以它是质数。

像2、3、5、7、11、13和17这样的数字都被认为是质数，由于它们恰好有两个因数，1和数字本身。像4、6、8、9、10和12这样的数字不是质数，由于它们有两个以上的因数。

质数和合数的区别是什么？

合数是质数的对立面。它们可以被除1和自身以外的其他数字整除。

想想数字6，假设你有六枚硬币。你可以把它们排成一个长方形，每排三枚硬币。你也可以这样做，把四个硬币分成两排。有了数字12，你可以把它做成不止一种矩形——你可以有两排六枚硬币，或者三乘四枚硬币。

但如果你以数字5为例，不管你怎么努力，你都无法把它放进一个矩形里。你能做的最好的就是把它串成一行，一排五枚硬币。所以，你可以称5为一个非矩形数。但更简单的说法是称它为质数。

还有许多其他的质数——2、3、7和11也在这个列表上，从这里开始一直延伸下去。早在公元前300年左右，希腊数学家欧几里得就提出了“质数无穷证明”，这可能是第一个证明质数有无限个数的数学证明。（在现代的无穷概念还未被完全理解的古希腊，欧几里得将质数的数量简单地描述为“超过任何指定的质数的数量”。）

理解质数和合数的另一种方法是将它们视为因子的乘积。2乘以3等于6，所以2和3是6的因数。所以6有两种方法— 1 * 6和2 * 3。把它们看成因子对。所以，对于合数，你有多个因子对，而对于质数，你只有一个因子对，一倍的数字本身。

证明质数列表是无限的并不是那么难。想象有一个最后最大的质数。记作P，然后取P以下的所有质数把它们乘在一起。如果这样做，然后在乘积上加1，那么这个数必定是质数。

相反，如果一个数是合数，它总是能被一些较小的质数整除。一个合数也可以被其他合数整除，但最终，你可以把它分解成一组质数。（举个例子：数字48正好有两个因数，6和8，但你可以把它进一步分解成不止两个因数：2 × 3 × 2 × 2 × 2。）

埃拉托色尼的筛法是什么？

埃拉托色尼筛法是希腊数学家埃拉托色尼在公元前3世纪提出的一种方法，用于从一组数字中找出质数和合数。

埃拉托色尼的筛法是基于这样一个观点：质数的倍数本身不是质数。因此，在搜索质数时，每个质数的所有倍数都可以被划掉。这样就省去了许多不必要的数字，所以埃拉托色尼的筛法可以节省许多时间。

1到100之间的质数列表

在1和100之间只有25个质数：

·1到10之间的质数：2,3,5,7

·11到20之间的质数：11,13,17,19

·21到30之间的质数：23 29

·31到40之间的质数：31,37

·41到50之间的质数：41,43,47

·51到100之间的质数：53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

为什么质数很重大

那么，为什么质数在几千年来一直被数学家们如此着迷呢？许多高等数学都是基于质数的。但在密码学中，质数也超级重大，由于真正的大数具有特别有价值的特征。没有快速、简单的方法来判断它们是质数还是合数。

区分大质数和大合数的困难使得密码学家有可能想出两个由数百位数字组成的大质数的因子构成的大合数。

数学家们一直在努力想出越来越大的质数，这是一个正在进行的项目，名为“伟大的互联网梅森质数搜索”。2018年，该项目发现了一个由23,249,425位数字组成的质数，足以填满9000页书。花了14年的计算才得出这个巨大的质数。

你可以想象欧几里得对此会有多么印象深刻。